复合函数求导

什么是复合函数？

复合函数是由两个函数组合而成的函数，形式如下：

f(g(x)) = f（u）= f（g（x））

其中，u=g(x)，g(x)是内函数，f(u)是外函数，f(g(x))是复合函数。

什么是复合函数求导？

对于复合函数f(g(x))，我们要求其导数。

根据链式法则，我们可以得到如下公式：

$$largefrac{d}{dx}f(g(x)) = frac{df}{du}cdotfrac{du}{dx}$$

其中，$frac{df}{du}$是外函数$f(u)$对$u=g(x)$的导数；$frac{du}{dx}$是内函数$g(x)$对$x$的导数。

如何求复合函数的导数？

拿两个实数函数作为例子，假设$f(x)$和$g(x)$都可以求导。我们来推导复合函数的导数：

$$largefrac{d}{dx}f(g(x)) = f’(g(x))cdot g’(x)$$

其中，外函数$f$的导数$f’$先对内函数$g(x)$求导，再乘上内函数$g(x)$对$x$的导数$g’(x)$。

求导实例

现在我们来举一个实例来计算复合函数的导数。

求$f(x)=x^2+1$和$g(x)=sqrt{x}$的复合函数$F(x)=f(g(x))$求导

根据链式法则可得：

$F’(x) = f’(g(x))cdot g’(x)$

由于$f(x)$的导数$f’(x)=2x$，因此$f’(g(x))=2sqrt{x}$；

由于$g(x)$的导数$g’(x)=frac{1}{2sqrt{x}}$，因此：$g’(x) = frac{1}{2sqrt{x}}$；

综上所述，$F’(x) = f’(g(x))cdot g’(x) = 2sqrt{x}cdotfrac{1}{2sqrt{x}}=1$

因此，$F(x) = x^2+1$和$g(x)=sqrt{x}$的复合函数$F(x)=f(g(x))$的导数为$1$。

复合函数求导的注意事项

在使用链式法则计算复合函数的导数时，有几个需要注意的问题：

注意外函数的定义域和内函数的值域，保持定义合法；

要先求外函数的导数，后求内函数的导数；

对于分段函数，先考虑各段的定义域和值域是否合法，再求导。

总结

复合函数求导是微积分中常用的计算方法。在实际应用中，我们要了解复合函数的定义、链式法则的表达式和求导方法，才能正确计算复合函数的导数。同时，也需要注意定义域和值域的合法性。