一元二次方程求根公式

一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$，其中$a neq 0$。它的解也称为“根”，如果利用因式分解难以求解，可以使用一元二次方程求根公式。

公式的推导

设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个根$x_1$和$x_2$，则由求根公式可得：

$$x_1=dfrac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a},quad x_2=dfrac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

公式的推导来自于将一元二次方程$ax^2+bx+c=0$变形为：$x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a}=0$，然后通过补全平方的方法，得到$(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$。移项后得到$(x+frac{b}{2a})^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}$。再两边对数，开方，得到公式。

公式的应用

一元二次方程求根公式使用广泛，例如计算机图形学、金融学等领域。在实际问题中，可以利用求根公式计算金融贷款的偿还方式、计算物理运动的时间和距离等。

但是需要注意的是，求根公式只适用于二次方程，对于高次方程或无理式，需要使用其他方法求解。

示例

以一元二次方程$x^2+2x+1=0$为例，代入求根公式得：

$$x_1=dfrac{-2+sqrt{2^2-4times1times1}}{2times1}=-1, quad x_2=dfrac{-2-sqrt{2^2-4times1times1}}{2times1}=-1$$

此方程有两个相等的根，即$x=-1$。

总结

一元二次方程求根公式是解决一元二次方程问题的基础公式，应用广泛，但需要注意求根公式只适用于二次方程。本文介绍了求根公式的推导过程和应用方法，并通过实例加深了理解。